Problèmes de synthèse Algèbre linéaire en dimension finie Exercice 1 Dans le R-espace vectoriel E = R3[X], on considère le sous-ensemble: F = {PЄ R3[X] / P(0) = P(1) = 0} 1. (a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E. (b) Déterminer une base et la dimension de F. (c) Montrer que E = FOR₁[X]. E T 2. Soit f : P R P(2) (a) Montrer que f est une forme linéaire. On note H = Ker f. Quelle est la dimension de H? (b) A-t-on E = FOH? (c) Déterminer une base de FH. Exercice 2 Pour nЄ N - {0. 1}, on considère le K-espace vectoriel E = Rn [X] des polynômes de degré inférieur ou égal à n, ainsi que le sous-ensemble de E: H₁ = {PER,[X] \ P(1) = P'(1) = 0} 1. Montrer que H,, est un sous-espace vectoriel de E. 72 2. On donne P₁ = X" - nX + 1. Montrer que le reste de la division euclidienne de P, par P2 est un polynôme constant que l'on déterminera. 3. Montrer que E = H, R₁[X]. En déduire la dimension de H. Quelle est la projection de P₁ sur R₁[X] parallèlement à H₁? 4. Dans cette question, on suppose n = 3. (a) Ecrire P3 comme somme d'un élément de H3 et d'un élément de R₁[X]. (b) Montrer que la famille (X(X-1)², (X-1)³) est une base de H3. (c) En utilisant les deux questions précédentes, calculer les coordonnées de P3 dans la base (1, X, X(X-1)2, (X-1)³) de R3[X]. Exercice 3 Dans l'espace vectoriel R4 [X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 4. on considère les polynômes : P₁ =1+ X2 P2 = X(1+X2) Q1X21 Q2 = x² - X On désigne par F = Vect(P1, P2, P3) P3 = (1+ X2) 2 Q3 = X2 X 1 G = {PER₁[X] t.q. (X2 + 1) divise P} H = Vect(Q1, Q2, Q3) K = {PER₁[X] t.q. P(1) = P'(1) = P" (1) = 0} On admet que F et H sont des sous-espaces vectoriels de R₁[X]. 1. Donner, en le justifiant brièvement. la dimension du sous-espace vectoriel F de R4 [X]. 2. a) Montrer que G est un sous espace vectoriel de R4[X] et déterminer une base de G. (on écrira P = (x² + 1)(ax² + bx + c)) b) Montrer que F = G. c) Le polynome P = X-X3+2X2-X+1 est-il élément de G? Si oui, donner ses coordonnées dans la base (P1, P2, P3). 3. a) Montrer que le sous-espace vectoriel H de R₁[X] est de dimension 3. b) Déterminer les dimensions de F+ H et FOH. 4. a) Montrer que K est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de R₁[X]. b) Montrer que R₁[X] GK 1/1